数值积分

若给出若干个 $[a, b]$ 上的节点，则 $f (x)$ 在这段区间上的定积分近似为：

\int_{a}^{b} f (x) d x = \sum_{i = 0}^{n} A_{i} f (x_{i}) + E [f]

其中， $A_{i}$ 是求积系数（分割的小矩形的长度）， $E [f]$ 是求积公式的截断误差。

常用的数值积分公式

中点求积公式：
$M (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx (b - a) f (\frac{a + b}{2})$
梯形求积公式：
$T (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2} [f (a) + f (b)]$
Simpson 求积公式：
$S (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]$
Cotes 求积公式：
$C (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{90} [7 f (x_{1}) + 32 f (x_{2}) + 12 f (x_{3}) + 32 f (x_{4}) + 7 f (x_{5})]$
Cotes 系数：
$n$ 次数 Cotes 系数
0 $1$
1 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$
2 $\frac{1}{6}$ $\frac{4}{6}$ $\frac{1}{6}$
3 $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$
4 $\frac{7}{90}$ $\frac{32}{90}$ $\frac{12}{90}$ $\frac{32}{90}$ $\frac{7}{90}$
$\dots$ $\dots$
性质：
1. 每一行的总和都为 $1$ ；
2. 每一行都是对称的；
3. $n \geq 8$ 时开始出现负数。

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} ω_{n + 1} (x)

以上的求积公式，若对于任意的不高于 $m$ 项的多项式均能精确成立，而对于某个 $m + 1$ 次多项式不能精确成立，则称其有 $m$ 次代数精确度。

求积公式具有 $m$ 次代数精确度的充要条件

其对 $f (x) = 1, x, x^{2}, \dots, x^{m}$ 都精确成立，而对 $f (x) = x^{m + 1}$ 不能精确成立。

注意

拥有奇数 $n + 1$ 个节点的求积公式，其代数精确度也至少为 $n + 1$ 。

具有 $n + 1$ 个节点的求积公式，其代数精确度最高为 $2 n + 1$ 。

复化中点求积公式： $M_{n} (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx h f (x_{i + \frac{1}{2}})$ 截断误差： $E_{M_{n}} (f) = \frac{(b - a) h^{2}}{24} f^{″} (ξ)$
复化梯形求积公式： $T_{n} (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{2} [f (a) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + f (b)]$ 截断误差： $E_{T_{n}} (f) = - \frac{(b - a) h^{2}}{12} f^{″} (ξ)$
复化 Simpson 求积公式： $S_{n} (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{6} [f (a) + 2 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i}) + 4 \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i + \frac{1}{2}}) + f (b)]$ 截断误差： $E_{S_{n}} (f) = - \frac{(b - a) h^{4}}{2880} f^{(4)} (ξ)$